những dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật và bài tập – Toán lớp 6

Bạn đang xem: những dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật và bài tập – Toán lớp 6 tại Trường THPT Kiến Thụy

những dạng toán tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật là một trong những chuyên đề có tương đối nhiều bài tập được gọi là “khó nhằn” và gây ‘căng thẳng đầu óc’ cho những bạn học sinh lớp 6, đây có thể coi là dạng toán dành cho học sinh khá giỏi.

Vì vậy, nhằm giúp những em học sinh “giải tỏa được căng thẳng” khi gặp những dạng toán về tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật, trong bài viết này chúng ta hãy cùng hệ thống lại một số dạng toán này cùng công thức và cách giải, sau đó vận dụng làm những bài tập.

I. Dạng toán tính tổng dãy sử dụng phương pháp quy nạp.

– Đối với một vài trường hợp khi tính tổng hữu hạn:

Sn = a1 + a2 + . . . + an (*)

trong khi ta có thể biết được kết quả (đề bài toán cho ta biết kết quả hoặc ta soi cầu được kết quả), thì ta sử dụng phương pháp quy nạp này để chứng minh.

* Ví dụ: Tính tổng Sn = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n -1)

° Hướng dẫn: (sử dụng phương pháp quy nạp)

– trước hết, ta thử với n = 1, ta có: S1 = (2.1 – 1) = 1

Thử với n = 2, ta có: S2 = (2.1 – 1) + (2.2 – 1) = 1+ 3 = 4 = 22

Thử với n= 3,  ta có: S3 = (2.1 – 1) + (2.2 – 1) + (2.3 – 1)= 1+ 3 + 5 = 9 = 32

…   …   …

– Ta soi cầu: Sn = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n -1) = n2 

• Phương pháp quy nạp: Sn = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n -1) = n2 (*)

Với n = 1; S1 = 1 (đúng)

Giả sử đúng với n = k (k≠1), tức là:

Sk =1 + 3 + 5 + . . . + (2k -1) = k2 (1)

Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k+1, tức là:

Sk+1 = 1 + 3 + 5 + . . . + (2k-1) + (2k+1) = (k+1)2

Vì ta đã giải sử Sk đúng nên ta đã có (1), từ đây ta biến đổi để xuất hiện (2), (1) còn được gọi là giải thiết quy nạp.

1 + 3 + 5 + . . . + (2k -1) = k2

1 + 3 + 5 + . . . + (2k-1) + (2k+1) = k2+ (2k+1) (cộng 2k+1 vào 2 vế).

Từ đó ⇒  1 + 3 + 5 + . . . + (2k-1) + (2k+1) = k2 + 2k + 1 = (k+1)2

• Tương tự tương tự, ta có thể chứng minh những kết quả sau bằng phương pháp quy nạp toán học:

1)

2) 

3) 

4) 

 

II. Dạng toán Tính tổng dãy sử dụng phương pháp khử liên tục

– Giả sử cần tính tổng: Sn = a1 + a2 + . . . + an (*) mà ta có thể trình diễn ai, i =1,2,3,…,n qua hiệu của 2 số hạng liên tục của 1 dãy khác, cụ thể như sau:

 a1 = b1 – b2

 a2 = b2 – b3

 …   …   …

 an = bn – bn+1

⇒ lúc đó ta có: Sn = (b1 – b2) + (b2 – b3)+…+(bn – bn+1) = b1 – bn+1

* Ví dụ 1: Tính tổng:

° Hướng dẫn: – Ta có:

 

   

 

 …; 

⇒

• Dạng tổng quát: 

* Ví dụ 2: Tính tổng:

 

° Hướng dẫn: – Ta có:

  ;…; 

* Ví dụ 3: Tính tổng:

 

° Hướng dẫn: – Ta có:

 

 

 

 

III. Dạng toán giải phương trình với ẩn là tổng cần tìm

• Dạng toán này vận dựng 2 phương pháp giới thiệu ở trên

* Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1 + 2 + 22 + . . . + 2100 (*)

° Hướng dẫn:

* Cách 1: Ta viết lại S như sau:

 S = 1 + 2(1 + 2 + 22 + . . . + 299)

 S = 1 + 2(1 + 2 + 22 + . . . + 299 + 2100 – 2100)

⇒ S = 1+ 2(S – 2100) = 1+ 2S – 2101

⇒ S = 2101 – 1

* Cách 2: Nhân 2 vế với 2, ta được:

 2S = 2(1 + 2 + 22 + . . . + 2100)

⇔ 2S = 2 + 22 + 23 + . . . 2101 (**)

– Lấy (**) trừ đi (*) ta được:

 2S – S = (2 + 22 + 23 + . . . 2101) – (1 + 2 + 22 + . . . + 2100)

⇔ S = 2101 – 1.

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

 

 Ta nhân cả 2 vế của Sn với a. Rồi TRỪ vế với vế ta được: 

* Ví dụ 2: Tính:  

 S = 1 – 2 + 22 – 23 + 24 – . . . – 299 + 2100

° Hướng dẫn:– Ta có:

 2S = 2(1 – 2 + 22 – 23 + 24 – . . . – 299 + 2100)

⇔ 2S = 2 – 22 + 23 – 24 + 25 – . . . – 2100 + 2101

⇔ 2S + S = (2 – 22 + 23 – 24 + 25 – . . . – 2100 + 2101) + (1 – 2 + 22 – 23 + 24 – . . . – 299 + 2100) 

⇔ 3S = 2101 + 1.

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

 Ta nhân cả 2 vế của Sn với a. Rồi CỘNG vế với vế ta được:

* Ví dụ 3: Tính tổng:

 S = 1 + 32 + 34 + . . . + 398 + 3100 (*)

° Hướng dẫn:

– Với bài toán này, mục tiêu là nhân 2 vế của S với một số nào đó mà khi trừ vế với về thì ta được những số khử (triệu tiêu) liên tục.

– Đối với bài này, ta thấy số mũ của 2 số liên tục cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 32 rồi vận dụng phương pháp khử liên tục.

S = 1 + 32 + 34 + . . . + 398 + 3100 

⇔ 32.S = 32(1 + 32 + 34 + . . . + 398 + 3100)

⇔ 9S= 32 + 34 + . . . + 3100 + 3102  (**)

– Ta Trừ vế với vế của (**) cho (*) được:

9S-S= (32 + 34 + . . . + 3100 + 3102) – (1 + 32 + 34 + . . . + 398 + 3100)

⇔ 8S = 3102 – 1

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

 Ta nhân cả 2 vế của Sn với ad . Rồi TRỪ vế với vế ta được: 

 

* Ví dụ 4: Tính:

 S = 1 – 23 + 26 – 29+ . . . + 296 – 299 (*)

° Hướng dẫn:

– Lũy thừa những số liên tục cách nhau 3 đơn vị, nhân 2 vế với 23 ta được:

 23.S =  23.(1 – 23 + 26 – 29+ . . . + 296 – 299)

⇒ 8S = 23 – 26 + 29 – 212+ . . . + 299 – 2102 (**)

– Ta CỘNG vế với vế (**) với (*) được:

 8S + S = (23 – 26 + 29 – 212+ . . . + 299 – 2102)+(1 – 23 + 26 – 29+ . . . + 296 – 299)

⇔ 9S = 1 – 2102 

• Tổng quát cho dạng toán này như sau: 

Ta nhân cả 2 vế của Sn với ad . Rồi CỘNG vế với vế ta được: 

 

 

III. Dạng toán vận dụng công thức tính tổng những số hạng của dãy số cách đều.

• Đối với dạng này ở bậc học cao hơn như THPT những em sẽ có công thức tính theo cấp số cộng hoặc cấp số nhân, còn với lớp 6 những em dựa vào cơ sở lý thuyết sau:

– Để đếm được số hạng cảu 1 dãy số mà 2 số hạng liên tục cách đều nhau một vài đơn vị ta sử dụng công thức:

 Số số hạng = [(số cuối – số đầu):(khoảng cách)] + 1

– Để tính Tổng những số hạng của một dãy mà 2 số hạng liên tục cách đều nhau một vài đơn vị ta sử dụng công thức:

 Tổng = [(số đầu + số cuối).(số số hạng)]:2

* Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1 + 3 + 5 + 7 + … + 39

° Hướng dẫn:

– Số số hạng của S là: (39-1):2+1 = 19+1 = 20.

 S = [20.(39+1)]:2 = 10.40 = 400.

* Ví dụ 2: Tính tổng: S = 2 + 5 + 8 + … + 59

° Hướng dẫn:

– Số số hạng của S là:(59-2):3+1 = 19+1 = 20.

 S = [20.(59+2)]:2 = 10.61 = 610.

IV. Dạng toán tổng hợp vận dụng những tổng đã biết

• Ký hiệu: 

• Tính chất:

* Ví dụ: Tính tổng: Sn = 1.2 + 2.3 + 3.4 +…+n(n+1)

° Hướng dẫn:

– Ta có: 

– Mặt khác, lại có:

  

 (theo PP quy nạp ở mục I).

  

 (theo PP quy nạp ở mục I)

V. Một số bài tập tập luyện về tính tổng dãy số có quy luật

Bài tập 1: Tính tổng: S = 3 + 8 + 13 + 18 + … + 228

Bài tập 2: Tính những tổng sau:

 a) S = 6 + 62 + 63 +…+ 699 + 6100

 b) S = 5 + 11 + 17 +…+ 95 + 101

 c) 

 d) 

 

Bài tập 3: Chứng minh

a) 1.4 + 4.7 + 7.10 +…+(3n-2)(3n+1) = n(n+1)2

b) 

Hy vọng với bài viết hệ thống lại những dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật và bài tập vận dụng ở trên hữu ích cho những em. Mọi góp ý và thắc mắc những em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để THPT Kiến Thụy ghi nhận và hỗ trợ, chúc những em học tập tốt !

những dạng toán tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

những dạng toán tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật là một trong những chuyên đề có tương đối nhiều bài tập được gọi là “khó nhằn” và gây ‘căng thẳng đầu óc’ cho những bạn học sinh lớp 6, đây có thể coi là dạng toán dành cho học sinh khá giỏi. Vì vậy, nhằm giúp những em học sinh “giải tỏa được căng thẳng” khi gặp những dạng toán về tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật, trong bài viết này chúng ta hãy cùng hệ thống lại một số dạng toán này cùng công thức và cách giải, sau đó vận dụng làm những bài tập. I. Dạng toán tính tổng dãy sử dụng phương pháp quy nạp. – Đối với một vài trường hợp khi tính tổng hữu hạn:  Sn = a1 + a2 + . . . + an (*) trong khi ta có thể biết được kết quả (đề bài toán cho ta biết kết quả hoặc ta soi cầu được kết quả), thì ta sử dụng phương pháp quy nạp này để chứng minh. * Ví dụ: Tính tổng Sn = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n -1) ° Hướng dẫn: (sử dụng phương pháp quy nạp) – trước hết, ta thử với n = 1, ta có: S1 = (2.1 – 1) = 1  Thử với n = 2, ta có: S2 = (2.1 – 1) + (2.2 – 1) = 1+ 3 = 4 = 22  Thử với n= 3,  ta có: S3 = (2.1 – 1) + (2.2 – 1) + (2.3 – 1)= 1+ 3 + 5 = 9 = 32  …   …   …  – Ta soi cầu: Sn = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n -1) = n2  • Phương pháp quy nạp: Sn = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n -1) = n2 (*)  Với n = 1; S1 = 1 (đúng)  Giả sử đúng với n = k (k≠1), tức là:  Sk =1 + 3 + 5 + . . . + (2k -1) = k2 (1)  Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k+1, tức là:  Sk+1 = 1 + 3 + 5 + . . . + (2k-1) + (2k+1) = (k+1)2   Vì ta đã giải sử Sk đúng nên ta đã có (1), từ đây ta biến đổi để xuất hiện (2), (1) còn được gọi là giải thiết quy nạp.  1 + 3 + 5 + . . . + (2k -1) = k2  1 + 3 + 5 + . . . + (2k-1) + (2k+1) = k2+ (2k+1) (cộng 2k+1 vào 2 vế). Từ đó ⇒  1 + 3 + 5 + . . . + (2k-1) + (2k+1) = k2 + 2k + 1 = (k+1)2 • Tương tự tương tự, ta có thể chứng minh những kết quả sau bằng phương pháp quy nạp toán học: 1) 2)  3)  4)  II. Dạng toán Tính tổng dãy sử dụng phương pháp khử liên tục – Giả sử cần tính tổng: Sn = a1 + a2 + . . . + an (*) mà ta có thể trình diễn người nào, i =1,2,3,…,n qua hiệu của 2 số hạng liên tục của 1 dãy khác, cụ thể như sau:  a1 = b1 – b2  a2 = b2 – b3  …   …   …  an = bn – bn+1 ⇒ lúc đó ta có: Sn = (b1 – b2) + (b2 – b3)+…+(bn – bn+1) = b1 – bn+1 * Ví dụ 1: Tính tổng: ° Hướng dẫn: – Ta có:        …;  ⇒ • Dạng tổng quát:  * Ví dụ 2: Tính tổng:   ° Hướng dẫn: – Ta có:   ;…;  * Ví dụ 3: Tính tổng:   ° Hướng dẫn: – Ta có:       III. Dạng toán giải phương trình với ẩn là tổng cần tìm • Dạng toán này vận dựng 2 phương pháp giới thiệu ở trên * Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1 + 2 + 22 + . . . + 2100 (*) ° Hướng dẫn: * Cách 1: Ta viết lại S như sau:  S = 1 + 2(1 + 2 + 22 + . . . + 299)  S = 1 + 2(1 + 2 + 22 + . . . + 299 + 2100 – 2100) ⇒ S = 1+ 2(S – 2100) = 1+ 2S – 2101 ⇒ S = 2101 – 1 * Cách 2: Nhân 2 vế với 2, ta được:  2S = 2(1 + 2 + 22 + . . . + 2100) ⇔ 2S = 2 + 22 + 23 + . . . 2101 (**) – Lấy (**) trừ đi (*) ta được:  2S – S = (2 + 22 + 23 + . . . 2101) – (1 + 2 + 22 + . . . + 2100) ⇔ S = 2101 – 1. • Tổng quát cho dạng toán này như sau:    Ta nhân cả 2 vế của Sn với a. Rồi TRỪ vế với vế ta được:  * Ví dụ 2: Tính:    S = 1 – 2 + 22 – 23 + 24 – . . . – 299 + 2100 ° Hướng dẫn:- Ta có:  2S = 2(1 – 2 + 22 – 23 + 24 – . . . – 299 + 2100) ⇔ 2S = 2 – 22 + 23 – 24 + 25 – . . . – 2100 + 2101 ⇔ 2S + S = (2 – 22 + 23 – 24 + 25 – . . . – 2100 + 2101) + (1 – 2 + 22 – 23 + 24 – . . . – 299 + 2100)  ⇔ 3S = 2101 + 1. • Tổng quát cho dạng toán này như sau:  Ta nhân cả 2 vế của Sn với a. Rồi CỘNG vế với vế ta được: * Ví dụ 3: Tính tổng:  S = 1 + 32 + 34 + . . . + 398 + 3100 (*) ° Hướng dẫn: – Với bài toán này, mục tiêu là nhân 2 vế của S với một số nào đó mà khi trừ vế với về thì ta được những số khử (triệu tiêu) liên tục. – Đối với bài này, ta thấy số mũ của 2 số liên tục cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 32 rồi vận dụng phương pháp khử liên tục. S = 1 + 32 + 34 + . . . + 398 + 3100  ⇔ 32.S = 32(1 + 32 + 34 + . . . + 398 + 3100) ⇔ 9S= 32 + 34 + . . . + 3100 + 3102  (**) – Ta Trừ vế với vế của (**) cho (*) được: 9S-S= (32 + 34 + . . . + 3100 + 3102) – (1 + 32 + 34 + . . . + 398 + 3100) ⇔ 8S = 3102 – 1 • Tổng quát cho dạng toán này như sau:  Ta nhân cả 2 vế của Sn với ad . Rồi TRỪ vế với vế ta được:    * Ví dụ 4: Tính:  S = 1 – 23 + 26 – 29+ . . . + 296 – 299 (*) ° Hướng dẫn: – Lũy thừa những số liên tục cách nhau 3 đơn vị, nhân 2 vế với 23 ta được:  23.S =  23.(1 – 23 + 26 – 29+ . . . + 296 – 299) ⇒ 8S = 23 – 26 + 29 – 212+ . . . + 299 – 2102 (**) – Ta CỘNG vế với vế (**) với (*) được:  8S + S = (23 – 26 + 29 – 212+ . . . + 299 – 2102)+(1 – 23 + 26 – 29+ . . . + 296 – 299) ⇔ 9S = 1 – 2102  • Tổng quát cho dạng toán này như sau:  Ta nhân cả 2 vế của Sn với ad . Rồi CỘNG vế với vế ta được:    III. Dạng toán vận dụng công thức tính tổng những số hạng của dãy số cách đều. • Đối với dạng này ở bậc học cao hơn như THPT những em sẽ có công thức tính theo cấp số cộng hoặc cấp số nhân, còn với lớp 6 những em dựa vào cơ sở lý thuyết sau: – Để đếm được số hạng cảu 1 dãy số mà 2 số hạng liên tục cách đều nhau một vài đơn vị ta sử dụng công thức:  Số số hạng = [(số cuối – số đầu):(khoảng cách)] + 1 – Để tính Tổng những số hạng của một dãy mà 2 số hạng liên tục cách đều nhau một vài đơn vị ta sử dụng công thức:  Tổng = [(số đầu + số cuối).(số số hạng)]:2 * Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1 + 3 + 5 + 7 + … + 39 ° Hướng dẫn: – Số số hạng của S là: (39-1):2+1 = 19+1 = 20.  S = [20.(39+1)]:2 = 10.40 = 400. * Ví dụ 2: Tính tổng: S = 2 + 5 + 8 + … + 59 ° Hướng dẫn: – Số số hạng của S là:(59-2):3+1 = 19+1 = 20.  S = [20.(59+2)]:2 = 10.61 = 610. IV. Dạng toán tổng hợp vận dụng những tổng đã biết • Ký hiệu:  • Tính chất:     * Ví dụ: Tính tổng: Sn = 1.2 + 2.3 + 3.4 +…+n(n+1) ° Hướng dẫn: – Ta có:  – Mặt khác, lại có:    (theo PP quy nạp ở mục I).    (theo PP quy nạp ở mục I) V. Một số bài tập tập luyện về tính tổng dãy số có quy luật Bài tập 1: Tính tổng: S = 3 + 8 + 13 + 18 + … + 228 Bài tập 2: Tính những tổng sau:  a) S = 6 + 62 + 63 +…+ 699 + 6100  b) S = 5 + 11 + 17 +…+ 95 + 101  c)   d)  Bài tập 3: Chứng minh a) 1.4 + 4.7 + 7.10 +…+(3n-2)(3n+1) = n(n+1)2 b)  Hy vọng với bài viết hệ thống lại những dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật và bài tập vận dụng ở trên hữu ích cho những em. Mọi góp ý và thắc mắc những em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để THPT Kiến Thụy ghi nhận và hỗ trợ, chúc những em học tập tốt ! Đăng bởi: THPT Kiến Thụy Chuyên mục: Giáo Dục

Bản quyền bài viết thuộc THPTSocTrang.Edu.Vn. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận!

Nguồn chia sẻ: thptphandinhphung.edu.vn

Bạn thấy bài viết những dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật và bài tập – Toán lớp 6 có khắc phục đươc vấn đề bạn tìm hiểu ko?, nếu ko hãy comment góp ý thêm về những dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật và bài tập – Toán lớp 6 bên dưới để Trường THPT Kiến Thụy có thể thay đổi & cải thiện nội dung tốt hơn cho các bạn nhé! Cám ơn bạn đã ghé thăm Website: thptphandinhphung.edu.vn của Trường THPT Kiến Thụy

Nhớ để nguồn bài viết này: những dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật và bài tập – Toán lớp 6 của website thptphandinhphung.edu.vn

Chuyên mục: Văn học