những dạng toán về Phân thức Đại số và bài tập vận dụng – Toán lớp 8

Bạn đang xem: những dạng toán về Phân thức Đại số và bài tập vận dụng – Toán lớp 8 tại Trường THPT Kiến Thụy

những dạng toán về Phân thức Đại số và bài tập vận dụng. Phân thức Đại số cũng có rất nhiều dạng toán như rút gọn phân thức, tính trị giá của phân thức, chứng minh đẳng thức, chứng minh phân thức là tối giản, điều kiện để phân thức có nghĩa,…

Bài viết này sẽ hệ thống lại những dạng toán về Phân thức Đại số cùng phương pháp giải những dạng toán này. Đồng thời với mỗi dạng toán sẽ có ví dụ và bài tập có lời giải để những em dễ dàng ghi nhớ, vận dụng khi gặp những bài toán tương tự.

I. Lý thuyết về Phân thức Đại số

1. khái niệm phân thức đại số

• Một phân thức đại số (hay còn gọi là phân thức) là một biểu thức có dạng:  trong đó A, B là những đa phức và B ≠ 0.

– Trong đó A được gọi là tử thức (hay tử) B được gọi là mẫu thứ (hay mẫu).

• Mỗi đa thức được coi như một phân thức với mẫu thức bằng 1.

2. Tính chất của phân thức đại số

a) Với hai phân thức 

 và  ta nói:

nếu như 

b) nếu như nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:

 ; (M là đã thức và M≠0)

c) nếu như chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:

 ; (N là một nhân tử chung và N≠0)

d) Quy tắc đổi dấu

° Đổi dấu cả tử và mẫu của phân thức:

° Đổi dấu trước phân thức và dấu tử thức : 

° Đổi dấu trước phân thức và dấu mẫu thức :

II. những dạng toán về Phân thức đại số

° Dạng 1: Tìm điều kiện của biến để phân thức có nghĩa

* Phương pháp: Cho mẫu thức khác 0 và tìm kết quả

♦ Ví dụ 1: Tìm điều kiện của x để phân thức sau có nghĩa:

a)

    b)     c)

* Lời giải:

a) Để phân thức có nghĩa: 

b) 

c) 

♦ Ví dụ 2: Tìm điều kiện của x để phân thức sau xác định:

a) 

    b)

* Lời giải:

a) 

b) 

° Dạng 2: Tìm trị giá của biến để phân thức đạt trị giá cho trước.

* Phương pháp:

– Bước 1: Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa

– Bước 2: Vận dụng những tính chất của phân thức để khử dạng phân thức

– Bước 3: Đối chiếu trị giá của x với điều kiện phân thức có nghĩa.

♦ Ví dụ 1: Với trị giá nào của x để:

a) 

  b)

* Lời giải:

a) 

  (*)

– Phân thức xác định khi: 3x – 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1.

(*) ⇔ 2x + 3 = 3x – 3

⇔ 3x – 2x = 3 + 3

⇒ x = 6 (thỏa x ≠ 1).

– Kết luận: Vậy x = 6 là trị giá cần tìm.

b) 

  (*)

– Phân thức xác định khi: x3 + x – 3×2 – 3 ≠ 0

⇔ [x(x2 + 1) – 3 (x2 + 1)]≠ 0

⇔ (x2 + 1)(x – 3) ≠ 0 ⇒ x ≠ 3

(*) ⇔ x – 2 = 0 ⇒ x = 2.

– Kết luận: Vậy x = 2 là trị giá cần tìm.

° Dạng 3: Chứng minh phân thức luôn có nghĩa.

* Phương pháp: Vận dụng những phép biến đổi để tìm điều kiện mẫu thức khác 0.

♦ Ví dụ: Chứng minh những phân thức sau luôn có nghĩa:

a) 

     b)

* Lời giải:

a) 

   (*)

– Ta có: (x – 1)2 ≥ 0, ∀x nên (x – 1)2 + 1 ≥ 1, ∀x

do vậy: (x – 1)2 + 1 ≠ 0, ∀x

Vậy phân thức (*) luôn xác định.

b)

  (**)

– Ta có: x2 – 4x + 5 = x2 – 4x + 4 + 1 = (x – 2)2 + 2.

(x – 2)2  ≥ 0, ∀x nên (x – 2)2 + 2 ≥ 2, ∀x

do vậy: x2 – 4x + 5 ≠ 0, ∀x

Vậy phân thức (**) luôn xác định.

° Dạng 4: Phân thức bằng nhau (đẳng thức phân thức).

* Phương pháp: Vận dụng những tính chất của phân thức đại số như  

 nếu như A.D = B.C sau đó chứng minh VT = VP.

♦ Ví dụ 1: Chứng minh những đẳng thức sau:

a)

b)

* Lời giải:

a) 

– Ta cần chứng minh: 2(x – y).3 = -2.3(y – x)

 VT = 2(x – y).3 = 6(x – y)

 VP = -2.3(y – x) = -6(y – x) = -6y + 6x = 6x – 6y = 6(x – y).

⇒ VT = VP (ta có điều phải chứng minh).

b) 

– Ta cần chứng minh: x(x2 + 2x) = (x + 2).x2

VT = x(x2 + 2x) = x3 + 2×2

 VP = (x + 2).x2 = x3 + 2×2

⇒ VT = VP (ta có điều phải chứng minh).

♦ Ví dụ 2: Xét sự bằng nhau của 2 phân thức A và B sau:

a)

 và

b)

 và

* Lời giải:

a) Ta có: (có sử dụng tính chất chia cho nhân tử chung)

 

  

b) Ta có: (có sử dụng tính chất chia cho nhân tử chung)

° Dạng 5: Rút gọn phân thức đại số.

* Phương pháp:

– tìm hiểu cả tử thức và mẫu thức thành nhân tử

– Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

♦ Ví dụ 1: Rút gọn những phân thức sau:

a)

     b)

* Lời giải

a) 

b)

° Dạng 6: Chứng minh phân thức đại số là tối giản.

* Phương pháp:

– Để chứng minh một phân thức đại số là tối giản ta gọi Ước chung lớn nhất của tử thức và mẫu thức là d, ta cần chứng minh d  = 1 hoặc d = -1. (cần vận dụng tri thức về ước và bội, tính chất chia hết,…).

♦ Ví dụ: Chứng minh những phân thức sau là tối giản.

a)

     b)  (với n là số tự nhiên);

* Lời giải:

a)

; gọi ƯCLN của -n+3 và n-4 là d.

⇒ 

 và  ⇒  ⇒

⇒ d = 1 hoặc d = -1, Vậy phân thức đã cho tối giản ∀n.

b) 

  (với n là số tự nhiên);

– Gọi ƯCLN của 2n+1 và 5n+3 là d.

⇒ 

 và 

– Có 

 ⇒ 

⇒ 

⇒ d=1 hoặc d=-1. Vậy phân thức đã cho tối giản ∀n∈N.

° Dạng 7: Tìm trị giá nguyên của biến x để phân thức có trị giá nguyên.

* Phương pháp:

– Vận dụng tri thức về ước và bội, tín hiệu chia hết để giải bài toán này.

♦ Ví dụ: Tìm trị giá nguyên của biến x để biểu thức sau có trị giá là một số nguyên.

a)

     b)

* Lời giải:

a)

° x – 2 là ước của 3; ta có Ư(3)={-3;-1;1;3}

nếu như x – 2 = -3 ⇒ x = -1

nếu như x – 2 = -1 ⇒ x = 1

nếu như x – 2 = 1 ⇒ x = 3

nếu như x – 2 = 3 ⇒ x = 5

– Kết luận: Vậy tập nghiệm là x ∈ S = {-1;1;3;5}.

b)

° 2x – 1 là ước của 5; ta có Ư(5)={-5;-1;1;5}

nếu như 2x – 1 = -5 ⇒ x = -2

nếu như 2x – 1 = -1 ⇒ x = 0

nếu như 2x – 1 = 1 ⇒ x = 1

nếu như 2x – 1 = 5 ⇒ x = 3

– Kết luận: Vậy tập nghiệm là x ∈ S = {-2;0;1;3}.

° Dạng 8: Tính trị giá của phân thức tại 1 trị giá của biến.

* Phương pháp:

– nếu như phân thức đã ở dạng rút gọn, thay trị giá của biến vào phân thức rồi tính.

– nếu như phân thức chưa ở dạng rút gọn, thực hiện rút gọn phân thức sau đó mới thay trị giá để tính.

♦ Ví dụ: Tính trị giá của biểu thức sau:

a)

 tại x = -2.

b)

 tại x=5.

* Lời giải:

a)

 tại x = -2.

– Ta được: 

b)

 tại x=5.

– Ta có:

– tại x = 5 ta có: 

° Dạng 9: Tìm mẫu thức chung của nhiều phân thức

* Phương pháp:

– tìm hiểu phần hệ số thành tích những số yếu tố, phần biến thành nhân tử.

– Mẫu chung: Phần hệ số là BCNN của những hệ số của những mẫu; Phần biến là tích giữa những nhân tử chung (những nhân tử giống nhau lấy nhân tử có số mũ lớn nhất).

– Tìm nhân tử phụ: Lấy mẫu chung chia cho từng mẫu

– Nhân cả tử và mẫu với nhân tử phụ ta được phân thức mới với những mẫu giống nhau.

♦ Ví dụ: Tìm điều kiện phân thức sau có nghĩa, tìm mẫu thức chung của chúng và quy đồng mẫu chung.

a) 

b)

* Lời giải:

a)

– Điều kiện phân thức có nghĩa:

 có nghĩa khi 2x + 6 ≠ 0 ⇒ x ≠ -3.

 có nghĩa khi x2 + 6x + 9 ≠ 0 ⇒ (x + 3)2 ≠ 0 ⇒ x ≠ -3.

– Ta có: 

 và 

⇒ Mẫu thức chung: 

– Quy đồng mẫu chung:

+ Nhân tử phụ của  

 là (x+3),

nhân cả tử và mẫu với nhân tử phụ ta được: 

+ Nhân tử phụ của  

 là 2,

nhân cả tử và mẫu với nhân tử phụ ta được: 

b) 

– Điều kiện phân thức có nghĩa:

 có nghĩa khi x2 – 2x + 1 ≠ 0 ⇒ (x – 1)2  ≠ 0 ⇒ x ≠ 1.

 có nghĩa khi x2 + 2x ≠ 0 ⇒ x(x + 2)  ≠ 0 ⇒ x ≠ 0 và x ≠ -2.

– Ta có:

⇒ Mẫu thức chung: x(x+2)(x-1)2

– Quy đồng mẫu chung:

 + Nhân tử phụ của  

 là x(x+2),

  nhân cả tử và mẫu với nhân tử phụ ta được: 

 + Nhân tử phụ của  

 là (x-1)2 , 

 nhân cả tử và mẫu với nhân tử phụ ta được: 

° Dạng 10: Thực hiện những phép toán trên phân thức

* Phương pháp:

• Cộng trừ phân thức: Quy đồng mẫu chung; Thực hiện cộng hoặc trừ tử với tử, mẫu giữ nguyên; Thu gọn nếu như có thể

• Nhân phân thức: Lấy tử nhân tử, mẫu nhân mẫu, thu gọn nếu như có thể

• Chia phân thức: nghịch đảo của 

 là ;

Ta có:

 (phép chia thành phép nhân nghịch đảo), rồi thu gọn nếu như có thể.

♦ Ví dụ: Thực hiện phép tính

a) 

b) 

c) 

* Lời giải:

a) 

b)

 (rút gọn, chia cả tử và mẫu cho 2)

c) 

 (rút gọn, chia cả tử và mẫu cho x)

III. Bài tập tập dượt những dạng toán về phân thức đại số

Bài tập 1: Tìm điều kiện để phân thức xác định

a) 

   b)   c)

Bài tập 2: Tìm trị giá của x để phân thức sau bằng 0:

a)

   b)   c)

Bài tập 3: Tìm trị giá của x để phân thức:

a) 

   b) 

Bài tập 4: Chứng minh phân thức sa luôn có nghĩa

a)

   b)

Bài tập 5: Chứng minh những đẳng thức sau:

a) 

b) 

Bài tập 6: Rút gọn những phân thức sau:

a)

   b)

Bài tập 7: Chứng minh phân thức sau tối giản với mọi số tự nhiên n:

a) 

   b) 

Bài tập 8: Rút gọn rồi tính trị giá của phân thức sau:

a) 

 với 

b) 

 với x=-5 và y =10.

Bài tập 9: Tìm những trị giá nguyên của x để phân thức sau có trị giá là số nguyên

a)

   b)

Bài tập 10: Cho phân thức

a) Tìm điều kiện của x để A xác định

b) Rút gọn A

c) Tính trị giá của A tại x=3

d) Tim trị giá nguyên của x để A đạt trị giá nguyên.

Hy vọng với bài viết hệ thống những dạng toán về phân thức đại số và bài tập vận dụng ở trên giúp ích cho những em. Mọi góp ý và thắc mắc những em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để thầy cô trường Cmm.edu.vn ghi nhận và hỗ trợ, chúc những em học tập tốt.

Bản quyền bài viết thuộc trường THPT thành Phố Sóc Trăng. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận!

Nguồn chia sẻ: Trường Cmm.edu.vn (thptphandinhphung.edu.vn)

Bạn thấy bài viết những dạng toán về Phân thức Đại số và bài tập vận dụng – Toán lớp 8 có khắc phục đươc vấn đề bạn tìm hiểu ko?, nếu ko hãy comment góp ý thêm về những dạng toán về Phân thức Đại số và bài tập vận dụng – Toán lớp 8 bên dưới để Trường THPT Kiến Thụy có thể thay đổi & cải thiện nội dung tốt hơn cho các bạn nhé! Cám ơn bạn đã ghé thăm Website: thptphandinhphung.edu.vn của Trường THPT Kiến Thụy

Nhớ để nguồn bài viết này: những dạng toán về Phân thức Đại số và bài tập vận dụng – Toán lớp 8 của website thptphandinhphung.edu.vn

Chuyên mục: Văn học