Trực tâm của tam giác là gì? Tính chất, cách xác định và bài tập ứng dụng
Trực tâm của tam giác là gì? Nêu tính chất của trực tâm trong tam giác? Hãy cùng tìm hiểu thông tin trong nội dung dưới đây của bài viết để tìm câu trả lời
Trực tâm của tam giác là gì?
Trực tâm của một tam giác là giao điểm của ba đường cao ứng với ba đỉnh của tam giác. Mỗi tam giác chỉ có một trực tâm và trực tâm đó có thể nằm trong hoặc ngoài miền của tam giác.
Gọi đường cao tương ứng của mỗi đỉnh của tam giác là đoạn thẳng nối đỉnh đó với cạnh đối diện và vuông góc với cạnh đối diện tại giao điểm. Cạnh đối diện được gọi là gốc tọa độ và tương ứng với độ cao của chính nó.
Độ dài của mức cao sẽ được xác định là khoảng cách giữa đỉnh và đáy tương ứng của nó.
Bạn có thể hình dung đơn giản như sau, giả sử cho tam giác ABC có 3 đường cao lần lượt là AH, BQ và CK. Gọi S là giao điểm của 3 đường cao trên thì S cũng là trực tâm của ∆ABC.
Trực tâm của tam giác là gì?
Tính chất trực tâm của tam giác
Như các bạn đã biết, trực tâm của tam giác có rất nhiều định lý và tính chất quan trọng. Để thực hiện được các dạng bài tập này bắt buộc phải nắm vững các định lý, các tính chất này thì mới có thể giải nhanh và hiệu quả các bài tập.
Nếu ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm thì điểm đó gọi là trực tâm của tam giác. Khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đến trung điểm hai cạnh bằng ½ khoảng cách từ trực tâm đến đỉnh còn lại của tam giác.
Đối với tam giác cân thì đường phân giác của cạnh đáy ứng với cạnh đáy của kênh sẽ là đường cao, là đường trung tuyến của tam giác đó. Trong một tam giác, nếu đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.
Tính chất trực tâm của tam giác
Trực tâm tam giác nhọn ABC trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi 3 đỉnh là chân đường cao tương ứng với 3 đỉnh của ∆ABC.
Định lý Carnot phát biểu rằng đường cao ứng với một đỉnh của tam giác và tại giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác thì điểm đó sẽ là điểm đối xứng với trực tâm của tam giác nằm ngoài cạnh đáy đối xứng của đỉnh.
Đọc thêm: 1 độ C bằng bao nhiêu độ F? Công thức và bảng chuyển đổi
Từ tính chất trên rút ra hệ quả sau: Trong một tam giác đều, trực tâm, trọng tâm, điểm nằm trong tam giác, điểm cách đều 3 đỉnh của tam giác và cách đều 3 cạnh thì 4 điểm này đều trùng nhau . như một điểm.
Năm tính chất trực tâm của tam giác có thể được tóm tắt như sau:
- Trong một tam giác cân, đường phân giác vuông góc sẽ ứng với các cạnh đáy và sẽ là đường cao, trung tuyến, đường phân giác của tam giác đó.
- Trong một tam giác, nếu đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.
- Trong một tam giác, nếu đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó gọi là tam giác cân.
- Trực tâm của ∆ABC nhọn trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác có 3 đỉnh là các chân của 3 đường thẳng kẻ từ các đỉnh A, B, C đến các cạnh đối diện tương ứng. AB, AC và BC.
- Đường cao của tam giác ứng với mỗi đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ hai là điểm đối xứng của trực tâm qua cạnh tương ứng.
Cách xác định trực tâm của tam giác?
trực tâm của tam giác vuông
Tam giác vuông KML có trực tâm H trùng với góc vuông K
trực tâm của tam giác vuông
Trực tâm của tam giác nhọn
Tam giác nhọn EFG có trực tâm H thuộc miền trong của tam giác
Trực tâm của tam giác nhọn
Trực tâm của tam giác tù
Tam giác tù CDE có trực tâm H nằm ngoài tam giác
Trực tâm của tam giác tù
Bài tập sử dụng trực tâm của tam giác
Bài tập 1: Cho ΔABC, hai đường cao BD và CE. Gọi M là trung điểm của BC. Chọn câu sai:
- Tôi = MĐ
- DM = MB
- BM = MC
- M không nằm trên đường trung trực của DE .
Vì M là trung điểm của BC (gt) nên BM = MC (tính chất trung điểm) loại A .
Xét BCE có M là trung điểm của BC (gt) thì EM là trực tâm
⇒ EM = BC/2 (1) (trong tam giác vuông, đường trung tuyến của cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền)
Xét BCD với M là trung điểm của BC (gt) thì DM là trực tâm
⇒ DM = MB = BC/2 (2) (trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh góc vuông) nên đáp án C
Từ (1) và (2) ⇒ EM = DM ⇒ M thuộc đường trung trực của DE. Loại đáp án B, chọn đáp án DỄ
Xem thêm: Công thức mol, nồng độ mol, nồng độ phần trăm và bài tập ứng dụng
Đáp án D – Đúng: M không nằm trên đường trung trực của DE
Bài 2: Cho ΔABC cân tại A, các đường cao BD và CE cắt nhau tại I. Tia AI cắt BC tại M. Khi đó ΔMED là hình gì?
- Tam giác góc vuông.
- Tam giác vuông.
- Tam giác cân.
- Tam giác đều.
Đáp án: C Đúng – Tam giác cân
Bài tập 3: Trên đường thẳng d lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J nằm giữa I và K).
Vẽ đường thẳng l vuông góc với d tại J. Trên l lấy điểm M khác điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt l tại N.
Chứng minh KN ⊥ IM.
Trả lời:
Trong một tam giác, ba đường cao đồng quy tại một điểm là trực tâm của tam giác.
l ⊥ d tại J và M thì J ∈ l ⇒ MJ ⟘ IK ⇒ MJ là đường cao của ΔMKI.
N nằm trên đường thẳng qua I và vuông góc với MK ⇒ IN ⟘ MK ⇒ IN là đường cao của ΔMKI.
IN và MJ cắt nhau tại N .
Theo tính chất 3 đường cao của tam giác ⇒ N là trực tâm của ΔMKI.
⇒ KN cũng là đường cao của ΔMKI ⇒ KN ⟘ MI.
Do đó, KN IM
Bài tập 4: Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó.
- a) Cho biết các đường cao của tam giác HBC. Từ đó, chỉ ra trực tâm của tam giác đó.
- b) Tương tự, hãy chỉ ra trực tâm của các tam giác HAB và HAC lần lượt.
Gọi D, E, F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B, C của ∆ABC.
⇒ AD ⟘ BC, BE ⟘ AC, CF ⟘ AB.
Trả lời:
a) ∆HBC có:
- AD ⊥ BC nên AD là đường cao kẻ từ H đến BC.
- BA HC tại F nên BA là đường cao kẻ từ B đến HC
- CA ⊥ BH tại E nên CA là đường cao kẻ từ C đến HB.
- AD, BA, CA cắt nhau tại A nên A là trực tâm của ΔHCB.
b) Tương tự:
- Trực tâm của ΔHAB là C (C là giao điểm của 3 đường cao: CF, AC, BC)
- Trực tâm của ΔHAC là B (B là giao điểm của 3 đường cao: BE, AB, CB)
Trực tâm của tam giác là gì? Trực tâm của một tam giác là gì? Các câu hỏi đã được trả lời cho các bạn và có bài tập tham khảo kèm theo. Hy vọng những thông tin trên sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập.
Bạn thấy bài viết Trực tâm của tam giác là gì? Tính chất, cách xác định và bài tập ứng dụng có khắc phục đươc vấn đề bạn tìm hiểu ko?, nếu ko hãy comment góp ý thêm về Trực tâm của tam giác là gì? Tính chất, cách xác định và bài tập ứng dụng bên dưới để Trường THPT Phan Đình Phùngcó thể thay đổi & cải thiện nội dung tốt hơn cho các bạn nhé! Cám ơn bạn đã ghé thăm Website: thptphandinhphung.edu.vn của Trường THPT Phan Đình Phùng
Nhớ để nguồn bài viết này: Trực tâm của tam giác là gì? Tính chất, cách xác định và bài tập ứng dụng của website thptphandinhphung.edu.vn
Chuyên mục: Giáo dục
Qua bài viết trên, Đạo Tâm hy vọng với những thông tin đã chia sẻ trong bài viết “Trực tâm của tam giác là gì? Tính chất, cách xác định và bài tập ứng dụng❤️️”.có thể giúp bạn có thêm nhiều thông tin cũng như hiểu rõ hơn về chủ đề “Trực tâm của tam giác là gì? Tính chất, cách xác định và bài tập ứng dụng” [ ❤️️❤️️ ]”.
